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原子軌道関数

原子軌道関数は,一般に球関数部分が複素関数ですが,縮退したものどうしで球関数の線形結合をとることで,実関数化した原子軌道関数をつくることができます。実関数化した原子軌道関数の角度依存部分は $\ao{p}_x$ や $\ao{d}_{x^2-y^2}$ などのように表されます。

$\ao{s}$ $\rY{0}{0}$ $\Y{0}{0}$ $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{4\pi}}}$
$\ao{p}_x$ $\rY{1}{1}$ $\sqrt{\frac{1}{2}} (\Y{1}{-1}-\Y{1}{1})$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\cos\phi}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x}{r}}$
$\ao{p}_y$ $\rY{1}{-1}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}\,i\,(\Y{1}{-1}+\Y{1}{1})$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\sin\phi}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{y}{r}}$
$\ao{p}_z$ $\rY{1}{0}$ $\Y{1}{0}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{z}{r}}$
$\ao{d}_{x^2-y^2}$ $\rY{2}{2}$ $\sqrt{\frac{1}{2}} (\Y{2}{-2}+\Y{2}{2})$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{16\pi}}\sin^2\theta(\cos^2\phi-\sin^2\phi)}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{16\pi}}\frac{x^2-y^2}{r^2}}$
$\ao{d}_{xy}$ $\rY{2}{-2}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}\,i\,(\Y{2}{-2}-\Y{2}{2})$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\sin^2\theta\sin\phi\cos\phi}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\frac{xy}{r^2}}$
$\ao{d}_{zx}$ $\rY{2}{1}$ $\sqrt{\frac{1}{2}} (\Y{2}{-1}-\Y{2}{1})$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\sin\theta\cos\theta\cos\phi}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\frac{zx}{r^2}}$
$\ao{d}_{yz}$ $\rY{2}{-1}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}\,i\,(\Y{2}{-1}+\Y{2}{1})$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\sin\theta\cos\theta\sin\phi}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\frac{yz}{r^2}}$
$\ao{d}_{z^2}=\ao{d}_{3z^2-r^2}$ $\rY{2}{0}$ $\Y{2}{0}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{5}{16\pi}}(3\cos^2\theta-1)}$ $\displaystyle{\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\frac{3z^2-r^2}{r^2}}$

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