原子軌道関数

原子軌道関数は，一般に球関数部分が複素関数ですが，縮退したものどうしで球関数の線形結合をとることで，実関数化した原子軌道関数をつくることができます。実関数化した原子軌道関数の角度依存部分は $\ao{p}_x$ や $\ao{d}_{x^2-y^2}$ などのように表されます。

$\ao{s}$	$\rY{0}{0}$	$\Y{0}{0}$	$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{4\pi}}}$
$\ao{p}_x$	$\rY{1}{1}$	$\sqrt{\frac{1}{2}} (\Y{1}{-1}-\Y{1}{1})$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\cos\phi}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x}{r}}$
$\ao{p}_y$	$\rY{1}{-1}$	$\sqrt{\frac{1}{2}}\,i\,(\Y{1}{-1}+\Y{1}{1})$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\sin\phi}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{y}{r}}$
$\ao{p}_z$	$\rY{1}{0}$	$\Y{1}{0}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{z}{r}}$
$\ao{d}_{x^2-y^2}$	$\rY{2}{2}$	$\sqrt{\frac{1}{2}} (\Y{2}{-2}+\Y{2}{2})$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{16\pi}}\sin^2\theta(\cos^2\phi-\sin^2\phi)}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{16\pi}}\frac{x^2-y^2}{r^2}}$
$\ao{d}_{xy}$	$\rY{2}{-2}$	$\sqrt{\frac{1}{2}}\,i\,(\Y{2}{-2}-\Y{2}{2})$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\sin^2\theta\sin\phi\cos\phi}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\frac{xy}{r^2}}$
$\ao{d}_{zx}$	$\rY{2}{1}$	$\sqrt{\frac{1}{2}} (\Y{2}{-1}-\Y{2}{1})$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\sin\theta\cos\theta\cos\phi}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\frac{zx}{r^2}}$
$\ao{d}_{yz}$	$\rY{2}{-1}$	$\sqrt{\frac{1}{2}}\,i\,(\Y{2}{-1}+\Y{2}{1})$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\sin\theta\cos\theta\sin\phi}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{15}{4\pi}}\frac{yz}{r^2}}$
$\ao{d}_{z^2}=\ao{d}_{3z^2-r^2}$	$\rY{2}{0}$	$\Y{2}{0}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{5}{16\pi}}(3\cos^2\theta-1)}$	$\displaystyle{\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\frac{3z^2-r^2}{r^2}}$

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